Номер 507, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 507, страница 151.

Условие.

507 1) $\frac{\sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1};$

2) $\frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $ \frac{\sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1} $ начнем с преобразования знаменателя.
Раскроем квадрат суммы в знаменателе по формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 $
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулой синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
Подставим эти тождества в выражение для знаменателя:
$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha - 1 = 1 + \sin 2\alpha - 1 = \sin 2\alpha $
Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходную дробь:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 1 $
(при условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0 $).
Ответ: $1$

2) Для упрощения выражения $ \frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} $ воспользуемся формулами косинуса двойного угла, также известными как формулы понижения степени.
Для числителя применим формулу $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.
Для знаменателя применим формулу $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha $.
Эти формулы можно вывести из основного тождества $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $:
$ 1 + \cos 2\alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha $
$ 1 - \cos 2\alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 2\sin^2 \alpha $
Подставим полученные выражения в нашу дробь:
$ \frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} $
Сократим дробь на 2:
$ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $
Используя определение котангенса $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $, получаем:
$ (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha})^2 = \cot^2 \alpha $
Ответ: $ \cot^2 \alpha $