Номер 511, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 511, страница 151.

Условие.

511 Доказать тождество

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 + \text{ctg} \alpha)} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \text{tg} \alpha)} = \frac{2\sqrt{2} \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2\alpha}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к одному и тому же виду.

Сначала преобразуем левую часть:

$$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 + \text{ctg } \alpha)} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \text{tg } \alpha)} $$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

Подставим эти выражения в знаменатели дробей в левой части:

$ \cos \alpha (1 + \text{ctg } \alpha) = \cos \alpha (1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) = \cos \alpha \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha} $

$ \sin \alpha (1 + \text{tg } \alpha) = \sin \alpha (1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) = \sin \alpha \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\cos \alpha} $

Теперь подставим упрощенные знаменатели обратно в левую часть равенства:

$$ \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha}} - \frac{\cos^2 \alpha}{\frac{\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\cos \alpha}} = \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} - \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} $$

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) $:

$$ \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} $$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $.

Так как $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, числитель становится равен $ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha $.

Еще раз применим формулу разности квадратов: $ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

Выражение для левой части принимает вид:

$$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} $$

Сократив на $ (\sin \alpha + \cos \alpha) $, получим:

$$ \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$$ \frac{2\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})}{\sin 2\alpha} $$

Воспользуемся формулой синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha - \cos \alpha) $.

Подставим это в правую часть:

$$ \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha - \cos \alpha)}{\sin 2\alpha} = \frac{2(\sin \alpha - \cos \alpha)}{\sin 2\alpha} $$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получим:

$$ \frac{2(\sin \alpha - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$

Так как левая и правая части тождества после преобразований оказались равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.