Номер 515, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 515, страница 155.

Условие.

515 Пусть $ \cos \alpha = 0,6 $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Вычислить:

1) $ \sin \frac{\alpha}{2} $;

2) $ \cos \frac{\alpha}{2} $;

3) $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $;

4) $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию дано, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой четверти. Если мы разделим это неравенство на 2, получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это значит, что угол $\frac{\alpha}{2}$ также находится в первой четверти, и все его тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) будут положительными.

1) sin $\frac{\alpha}{2}$;

Для вычисления синуса половинного угла воспользуемся формулой понижения степени: $ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} $

Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin \frac{\alpha}{2} > 0$. Следовательно, мы берем положительное значение корня: $ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $

Подставим известное значение $\cos \alpha = 0,6$: $ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{0,4}{2}} = \sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{5} $

2) cos $\frac{\alpha}{2}$;

Для вычисления косинуса половинного угла также воспользуемся формулой понижения степени: $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} $

Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$. Берем положительное значение корня: $ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $

Подставим значение $\cos \alpha = 0,6$: $ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + 0,6}{2}} = \sqrt{\frac{1,6}{2}} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $

3) tg $\frac{\alpha}{2}$;

Тангенс половинного угла можно найти как отношение синуса к косинусу этого угла: $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} $

Подставим найденные ранее значения: $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) ctg $\frac{\alpha}{2}$.

Котангенс половинного угла - это величина, обратная тангенсу, или отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg} \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} $

Используя результат из предыдущего пункта: $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $

Ответ: $ 2 $