Номер 520, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 520, страница 155.

Условие.

520 1) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

3) $\frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha};$

4) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \text{ctg} \alpha = 1$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, а также определение котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \text{ctg} \alpha = \frac{2\sin^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \text{tg} \alpha$.

Преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ и $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha}$

Сократим дробь на $2\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha}$.

Преобразуем левую часть. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

$\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}$

В числителе применим формулу разности квадратов, а в знаменателе — формулу квадрата суммы:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 - \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Сначала преобразуем левую часть. Используем те же формулы, что и в предыдущем пункте:

$\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos \alpha$:

$\frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha}$

Теперь преобразуем правую часть, используя формулу тангенса суммы $\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B}$ и зная, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4})=1$:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha}$

Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.