Номер 518, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 518, страница 155.

Условие.

518 Упростить выражение:

1) $\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$;

2) $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$;

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}$;

4) $\frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$;

5) $\frac{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$;

6) $(1 - \cos 2\alpha) \operatorname{ctg} \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения дроби $\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ применим формулы половинного угла:

$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}$

Сократим общий множитель $2 \sin \frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan \frac{\alpha}{2}$

2)

Для упрощения дроби $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ также воспользуемся формулами половинного угла:

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$

Сократим общий множитель $2 \cos \frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan \frac{\alpha}{2}$

3)

Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}$ используем формулы двойного угла:

$1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$

$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель:

$\frac{(1 - \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha}{(1 + \cos 2\alpha) + \sin 2\alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}$

Сократим общие множители $2(\sin \alpha + \cos \alpha)$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$

Ответ: $\tan \alpha$

4)

Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$ применим формулы двойного угла для аргумента $2\alpha$:

$1 + \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2 \cos^2 2\alpha$

$\sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{2 \cos^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

Сократим общий множитель $2 \cos 2\alpha$:

$\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha$

Ответ: $\operatorname{ctg} 2\alpha$

5)

Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ преобразуем числитель с помощью формул двойного угла:

$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Числитель примет вид:

$1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Вынесем общий множитель $2 \cos \alpha$ за скобки:

$2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)$

Теперь подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$\frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Сократим общий множитель $(\sin \alpha + \cos \alpha)$:

$2 \cos \alpha$

Ответ: $2 \cos \alpha$

6)

Для упрощения выражения $(1 - \cos 2\alpha) \operatorname{ctg} \alpha$ используем формулу двойного угла и определение котангенса:

$1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$

$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Подставим эти выражения в исходное:

$(2 \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Сократим $\sin \alpha$:

$2 \sin \alpha \cos \alpha$

Полученное выражение является формулой синуса двойного угла:

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$

Ответ: $\sin 2\alpha$