Номер 522, страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 30. Синус, косинус и тангенс половинного угла - номер 522, страница 155.

Условие.

522 Упростить выражение $\frac{\text{tg } 2\alpha}{\text{tg } 4\alpha - \text{tg } 2\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения преобразуем его, представив тангенсы как отношение синуса к косинусу по формуле $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\frac{\tg 2\alpha}{\tg 4\alpha - \tg 2\alpha} = \frac{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}$

Теперь упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos 2\alpha - \cos 4\alpha \sin 2\alpha}{\cos 4\alpha \cos 2\alpha}$

В числителе полученной дроби мы видим формулу синуса разности углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.

Применим эту формулу для $A = 4\alpha$ и $B = 2\alpha$:

$\sin 4\alpha \cos 2\alpha - \cos 4\alpha \sin 2\alpha = \sin(4\alpha - 2\alpha) = \sin 2\alpha$

Таким образом, знаменатель исходного выражения равен:

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha \cos 2\alpha}$

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha \cos 2\alpha}}$

Чтобы разделить дроби, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$

Сократим одинаковые множители ($\sin 2\alpha$ и $\cos 2\alpha$) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\sin 2\alpha}}{\cancel{\cos 2\alpha}} \cdot \frac{\cos 4\alpha \cancel{\cos 2\alpha}}{\cancel{\sin 2\alpha}} = \cos 4\alpha$

Ответ: $\cos 4\alpha$