Номер 528, страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 528, страница 160.

Условие.

528 1) $ \frac{\sin \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\text{ctg} (2\pi - \alpha)} \cdot \frac{\text{tg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin (\pi + \alpha)}; $

2) $ \frac{\sin^2 (\pi + \alpha) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)} \cdot \text{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{ctg}(2\pi - \alpha)} \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения:
$ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию)
$ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный, функция не меняется)
$ \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол во II четверти, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию)
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция не меняется)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{-\cos(\alpha)}{-\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{-\text{ctg}(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)} \cdot \frac{\text{ctg}(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Сократим $ \text{ctg}(\alpha) $:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha) $

Ответ: $ \text{ctg}(\alpha) $

2) Упростим выражение $ \frac{\sin^2(\pi + \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \cdot \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.

Применим формулы приведения к каждому члену выражения:
$ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $ (угол $(\pi+\alpha)$ в III четверти, синус отрицательный, функция не меняется)
$ \sin^2(\frac{\pi}{2} + \alpha) = (\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $ (угол $(\frac{\pi}{2}+\alpha)$ во II четверти, синус положительный, функция меняется на кофункцию)
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол $(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$ в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию)
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (угол $(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ в III четверти, котангенс положительный, функция меняется на кофункцию)

Подставим полученные выражения в исходное:

$ \frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \text{tg}(\alpha) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $ и определение тангенса $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, получим:

$ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократим $ \sin(\alpha) $:

$ \frac{1}{\cos(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos(\alpha)} $