Номер 510, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла - номер 510, страница 151.

Условие.

510 Доказать тождество:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \cot \alpha - 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha - 2 \cos \alpha}{\sin \alpha - \sin^2 \alpha} = -2 \cot \alpha;$

3) $\tan \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha;$

4) $\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \cdot \cot \alpha = 1;$

5) $\frac{(1 - 2 \cos^2 \alpha)(2 \sin^2 \alpha - 1)}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \cot^2 2\alpha;$

6) $1 - 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin \alpha;$

7) $\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \tan \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и вынесем общий множитель $\sin\alpha$ в знаменателе:

$\frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и сократим дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$:

$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg }\alpha - 1$

Левая часть тождества приведена к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть равенства. В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, а затем вынесем общий множитель $2\cos\alpha$. В знаменателе вынесем общий множитель $\sin\alpha$:

$\frac{\sin 2\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)} = \frac{2\cos\alpha(\sin\alpha - 1)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)}$

Заметим, что $(\sin\alpha - 1) = -(1 - \sin\alpha)$. Подставим это в числитель и сократим дробь на $(1 - \sin\alpha)$:

$\frac{-2\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)} = \frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Используя определение котангенса $\text{ctg }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем:

$-2 \text{ctg }\alpha$

Левая часть тождества приведена к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $\text{tg }\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$:

$\text{tg }\alpha (1 + \cos 2\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (2\cos^2\alpha)$

Сократим на $\cos\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha$

Это формула синуса двойного угла:

$\sin 2\alpha$

Левая часть тождества приведена к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем дробь в левой части равенства. Используем формулы $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$, $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}$

Вынесем общие множители в числителе ($2\sin\alpha$) и знаменателе ($2\cos\alpha$):

$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$

Сократим дробь на $2(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество:

$\text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha = 1$

Так как $\text{tg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha = 1$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем левую часть равенства. В числителе используем формулы косинуса двойного угла: $1 - 2\cos^2\alpha = -(2\cos^2\alpha - 1) = -\cos 2\alpha$ и $2\sin^2\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла в квадрате: $4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = (\sin 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha$.

Подставляем преобразованные выражения:

$\frac{(-\cos 2\alpha)(-\cos 2\alpha)}{\sin^2 2\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$

Используя определение котангенса, получаем:

$(\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha})^2 = \text{ctg}^2 2\alpha$

Левая часть тождества приведена к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу косинуса двойного угла в виде $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Упростим аргумент косинуса:

$\cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{2\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.

Таким образом, левая часть равна $\sin\alpha$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть равенства. В числителе используем формулу $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В знаменателе используем формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$:

$\frac{\sin\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos\alpha + \cos 2\alpha} = \frac{\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{(1 + \cos 2\alpha) + \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + \cos\alpha}$

Вынесем общие множители в числителе ($\sin\alpha$) и знаменателе ($\cos\alpha$):

$\frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha(2\cos\alpha + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2\cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha$

Левая часть тождества приведена к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.