Номер 536, страница 161 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 31. Формулы приведения - номер 536, страница 161.

Условие.

536 Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до $\frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного утверждения мы последовательно покажем, как свести вычисление тригонометрических функций для произвольного угла к углу из заданного промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$. Доказательство разобьем на три шага.

Шаг 1: Использование периодичности

Тригонометрические функции синус, косинус и тангенс являются периодическими. Период синуса и косинуса равен $2\pi$, а период тангенса — $\pi$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ и любого целого числа $k$ справедливы равенства:
$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$
$\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$
$\tan(\alpha + \pi k) = \tan(\alpha)$
Благодаря этому свойству, вычисление значения функции для любого угла $\alpha$ можно свести к вычислению значения для угла $\alpha'$, лежащего в основном промежутке: $[0, 2\pi)$ для синуса и косинуса, и $[0, \pi)$ для тангенса. Для этого достаточно отбросить целое число полных периодов. Таким образом, мы можем ограничить наше рассмотрение углами из промежутка $[0, 2\pi)$.

Шаг 2: Приведение к первой четверти (от 0 до $\frac{\pi}{2}$)

Рассмотрим угол $\alpha' \in [0, 2\pi)$. С помощью формул приведения, которые связывают значения тригонометрических функций в разных четвертях, мы можем свести его к углу $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
- Если $\alpha' \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (I четверть), то мы уже в нужном промежутке. Полагаем $\beta = \alpha'$.
- Если $\alpha' \in (\frac{\pi}{2}, \pi]$ (II четверть), то можно представить $\alpha' = \pi - \beta$, где $\beta = \pi - \alpha' \in [0, \frac{\pi}{2})$. Тогда $\sin(\alpha') = \sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$ и $\cos(\alpha') = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$.
- Если $\alpha' \in (\pi, \frac{3\pi}{2}]$ (III четверть), то можно представить $\alpha' = \pi + \beta$, где $\beta = \alpha' - \pi \in (0, \frac{\pi}{2}]$. Тогда $\sin(\alpha') = \sin(\pi + \beta) = -\sin(\beta)$ и $\cos(\alpha') = \cos(\pi + \beta) = -\cos(\beta)$.
- Если $\alpha' \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ (IV четверть), то можно представить $\alpha' = 2\pi - \beta$, где $\beta = 2\pi - \alpha' \in [0, \frac{\pi}{2})$. Тогда $\sin(\alpha') = \sin(2\pi - \beta) = -\sin(\beta)$ и $\cos(\alpha') = \cos(2\pi - \beta) = \cos(\beta)$.
В любом случае, вычисление синуса и косинуса для угла $\alpha'$ сводится к вычислению синуса и косинуса для некоторого угла $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, возможно, с изменением знака, который определяется исходной четвертью.

Шаг 3: Приведение к промежутку $[0, \frac{\pi}{4}]$

На последнем шаге покажем, что вычисление для угла $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ можно свести к вычислению для угла из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$. Разобьем промежуток $[0, \frac{\pi}{2}]$ на две части: $[0, \frac{\pi}{4}]$ и $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.
- Если $\beta \in [0, \frac{\pi}{4}]$, то угол уже находится в целевом промежутке.
- Если $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, то рассмотрим угол $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta$. Если $\beta$ принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, то $\gamma$ будет принадлежать интервалу $[0, \frac{\pi}{4})$. Используя формулы приведения для дополнительных углов (углов, в сумме дающих $\frac{\pi}{2}$), получаем:
$\sin(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cos(\gamma)$
$\cos(\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin(\gamma)$
Это означает, что для вычисления синуса и косинуса угла $\beta$ из интервала $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ достаточно уметь вычислять синус и косинус для угла $\gamma$ из интервала $[0, \frac{\pi}{4})$.

Заключение

Объединяя все шаги, мы видим, что для вычисления $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ для произвольного угла $\alpha$ мы сначала приводим угол к промежутку $[0, 2\pi)$ за счет периодичности, затем к первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$ с помощью формул приведения, и, наконец, если полученный угол $\beta$ больше $\frac{\pi}{4}$, мы заменяем его на $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta \in [0, \frac{\pi}{4})$, используя тождества $\sin(\beta) = \cos(\gamma)$ и $\cos(\beta) = \sin(\gamma)$.
Поскольку $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, вычисление тангенса также сводится к вычислению синуса и косинуса для углов из этого же промежутка. В частности, если угол $\beta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, то $\tan(\beta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \cot(\gamma) = \frac{1}{\tan(\gamma)}$, где $\gamma \in [0, \frac{\pi}{4})$. Следовательно, и вычисление тангенса сводится к значениям для углов из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Любой угол $\alpha$ сначала приводится к эквивалентному углу $\alpha'$ в промежутке $[0, 2\pi)$ с помощью свойства периодичности. Затем, используя симметрию и формулы приведения, вычисление сводится к нахождению значений для угла $\beta$ в первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$. Наконец, если угол $\beta$ больше $\frac{\pi}{4}$, он заменяется на угол $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta$, который лежит в промежутке $[0, \frac{\pi}{4}]$, с помощью формул $\sin(\beta) = \cos(\gamma)$ и $\cos(\beta) = \sin(\gamma)$. Для тангенса применяется аналогичный подход ($\tan(\beta) = \cot(\gamma)$). Это показывает, что для вычисления значений синуса, косинуса и тангенса любого угла достаточно знать их значения для углов из промежутка $[0, \frac{\pi}{4}]$.