Номер 541, страница 164 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 541, страница 164.

Условие.

541 Упростить выражение:

1) $\frac{2 (\cos \alpha + \cos 3\alpha)}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha}$;

2) $\frac{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Упростим выражение $\frac{2 (\cos \alpha + \cos 3\alpha)}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha}$.

Сначала преобразуем числитель, используя формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:

$2 (\cos \alpha + \cos 3\alpha) = 2 \left(2 \cos\frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 4 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)$ и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha + 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) = 2 \sin(2\alpha) (1 + \cos(2\alpha))$.

Применим формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2 \cos^2(\alpha)$:

$2 \sin(2\alpha) (1 + \cos(2\alpha)) = 2 \sin(2\alpha) \cdot 2 \cos^2(\alpha) = 4 \sin(2\alpha) \cos^2(\alpha)$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{4 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)}{4 \sin(2\alpha) \cos^2(\alpha)}$

Сократим общие множители $4$ и $\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha) \cos(\alpha)}$

Чтобы выразить ответ через функции от угла $\alpha$, разложим $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$:

$\frac{\cos(2\alpha)}{(2 \sin\alpha \cos\alpha) \cos(\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{2 \sin\alpha \cos^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\cos(2\alpha)}{2 \sin\alpha \cos^2(\alpha)}$

2)

Упростим выражение $\frac{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1}$.

Сгруппируем слагаемые в числителе: $(1 - \cos 2\alpha) + (\sin \alpha - \sin 3\alpha)$.

Преобразуем каждую группу по отдельности.

Для первой группы используем формулу косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$.

Для второй группы используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin \alpha - \sin 3\alpha = 2 \cos\frac{\alpha+3\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos(2\alpha) \sin(-\alpha) = -2 \sin\alpha \cos(2\alpha)$.

Таким образом, числитель принимает вид:

$2 \sin^2 \alpha - 2 \sin\alpha \cos(2\alpha)$.

Вынесем общий множитель $2 \sin\alpha$ за скобки:

$2 \sin\alpha (\sin\alpha - \cos(2\alpha))$.

Чтобы выражение в скобках зависело только от $\sin\alpha$, используем формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$:

$2 \sin\alpha (\sin\alpha - (1 - 2 \sin^2 \alpha)) = 2 \sin\alpha (\sin\alpha - 1 + 2 \sin^2 \alpha) = 2 \sin\alpha (2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1)$.

Теперь подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$\frac{2 \sin\alpha (2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1)}{2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1}$.

Сократим общий множитель $(2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю, т.е. $\sin\alpha \neq \frac{1}{2}$ и $\sin\alpha \neq -1$):

$2 \sin\alpha$.

Ответ: $2 \sin\alpha$