Номер 544, страница 164 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 544, страница 164.

Условие.

544 Доказать тождество $tg \alpha + tg \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ и вычислить:

1) $tg 267^\circ + tg 93^\circ;$

2) $tg \frac{5\pi}{12} + tg \frac{7\pi}{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Сначала докажем тождество $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Преобразуем левую часть равенства. По определению тангенса $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$, имеем:
$\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$
Приводя дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$, получаем:
$\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$
Числитель дроби является формулой синуса суммы: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta)$.
Таким образом, левая часть равна:
$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$
Тождество доказано, так как мы получили правую часть исходного равенства.

1) Вычислим $\text{tg } 267^\circ + \text{tg } 93^\circ$.
Применим доказанное тождество, положив $\alpha = 267^\circ$ и $\beta = 93^\circ$:
$\text{tg } 267^\circ + \text{tg } 93^\circ = \frac{\sin(267^\circ + 93^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ}$
Сумма углов в числителе равна $267^\circ + 93^\circ = 360^\circ$.
Следовательно, выражение принимает вид:
$\frac{\sin(360^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ} = \frac{0}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ} = 0$
Знаменатель не равен нулю, так как косинус равен нулю для углов $90^\circ + 180^\circ k$, где $k$ - целое число, а углы $267^\circ$ и $93^\circ$ не принадлежат этому множеству.
Ответ: 0

2) Вычислим $\text{tg}\frac{5\pi}{12} + \text{tg}\frac{7\pi}{12}$.
Применим тождество для $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$:
$\text{tg}\frac{5\pi}{12} + \text{tg}\frac{7\pi}{12} = \frac{\sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12})}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}}$
Сумма углов в числителе равна $\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$.
Следовательно, выражение принимает вид:
$\frac{\sin(\pi)}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{0}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = 0$
Знаменатель не равен нулю, так как косинус равен нулю для углов $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число, а углы $\frac{5\pi}{12}$ и $\frac{7\pi}{12}$ не принадлежат этому множеству.
Ответ: 0