Номер 547, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 547, страница 165.

Условие.

547 Упростить выражение:

1) $2 \sin(\pi - \alpha) \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3 \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - 2;$

2) $\frac{\sin(\pi + \alpha) \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $2 \sin(\pi - \alpha) \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 3 \sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) - 2$ воспользуемся формулами приведения.

Применим следующие формулы:

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ (угол во II четверти, синус положителен, функция не меняется).

• $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ (угол в I четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).

• $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$ (угол в I четверти, синус положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в исходное:

$2 (\sin \alpha) (\sin \alpha) + 3 (\cos \alpha)^2 - 2 = 2 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha - 2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$2 \sin^2 \alpha + 3 \cos^2 \alpha - 2 = 2 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 = 2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha - 2 = 2 \cdot 1 + \cos^2 \alpha - 2 = \cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha) \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \text{tg}(\pi + \alpha)}$.

Применим формулы приведения для каждого множителя отдельно.

Упростим числитель:

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$ (III четверть, синус отрицателен).

• $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$ (III четверть, косинус отрицателен, функция меняется).

• $\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$.

Тогда числитель равен: $(-\sin \alpha) \cdot (-\sin \alpha) \cdot (-\text{ctg} \alpha) = -\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$.

Упростим знаменатель:

• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$ (II четверть, косинус отрицателен, функция меняется).

• $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$ (IV четверть, косинус положителен, функция меняется).

• $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha$ (III четверть, тангенс положителен).

Тогда знаменатель равен: $(-\sin \alpha) \cdot (\sin \alpha) \cdot (\text{tg} \alpha) = -\sin^2 \alpha \cdot \text{tg} \alpha$.

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{-\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha}{-\sin^2 \alpha \cdot \text{tg} \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $-\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$, что необходимо для существования тангенса и котангенса в выражении):

$\frac{\text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha} = \frac{\text{ctg} \alpha}{\frac{1}{\text{ctg} \alpha}} = \text{ctg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = \text{ctg}^2 \alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^2 \alpha$