Номер 540, страница 164 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 540, страница 164.

540 Доказать тождество:

1) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha;$

2) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \text{ctg } \alpha.$

1) Докажем тождество $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, представив их в виде $\sin 3\alpha + \sin \alpha$ и $\cos 3\alpha + \cos \alpha$.

Преобразуем числитель:

$\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha}$.

Сократим дробь на общий множитель $2 \cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$ и $\cos 2\alpha \neq 0$, которые являются областью определения тангенса):

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan 2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \tan 2\alpha$ доказано.

---

2) Докажем тождество $\frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \cot \alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. В числителе используем формулу суммы синусов, а в знаменателе — формулу разности косинусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, представив числитель как $\sin 4\alpha + \sin 2\alpha$.

Преобразуем числитель:

$\sin 4\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2 \sin\frac{6\alpha}{2} \sin\frac{-2\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin(-\alpha)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$, упростим выражение для знаменателя:

$-2 \sin 3\alpha (-\sin \alpha) = 2 \sin 3\alpha \sin \alpha$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \frac{2 \sin 3\alpha \cos \alpha}{2 \sin 3\alpha \sin \alpha}$.

Сократим дробь на общий множитель $2 \sin 3\alpha$ (при условии, что $\sin 3\alpha \neq 0$ и $\sin \alpha \neq 0$, которые являются областью определения котангенса):

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \cot \alpha$ доказано.