Номер 545, страница 164 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 545, страница 164.

Условие.

545 Разложить на множители:

1) $1 - \cos \alpha + \sin \alpha;$

2) $1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha;$

3) $1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha;$

4) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для разложения на множители выражения $1 - \cos \alpha + \sin \alpha$ используем формулы половинного угла.
Формула понижения степени для косинуса: $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Формула синуса двойного угла для $\alpha$: $\sin \alpha = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$1 - \cos \alpha + \sin \alpha = \left(1 - \cos \alpha\right) + \sin \alpha = 2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Теперь вынесем общий множитель $2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ за скобки:
$2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.
Ответ: $2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.

2) Для разложения на множители выражения $1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha$ сгруппируем первое и третье слагаемые.
$1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - 2 \cos \alpha$.
Применим формулу косинуса двойного угла: $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$.
Подставим в выражение:
$(1 + \cos 2\alpha) - 2 \cos \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha$.
Вынесем общий множитель $2 \cos \alpha$ за скобки:
$2 \cos \alpha (\cos \alpha - 1)$.
Ответ: $2 \cos \alpha (\cos \alpha - 1)$.

3) Для разложения на множители выражения $1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha$ представим $\operatorname{tg} \alpha$ как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (область допустимых значений $\cos \alpha \neq 0$).
$1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Сгруппируем слагаемые:
$(1 - \cos \alpha) + (\sin \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Во второй группе вынесем $\sin \alpha$ за скобки:
$(1 - \cos \alpha) + \sin \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos \alpha}\right) = (1 - \cos \alpha) + \sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha - 1}{\cos \alpha}\right)$.
Так как $\cos \alpha - 1 = -(1 - \cos \alpha)$, то выражение примет вид:
$(1 - \cos \alpha) - \sin \alpha \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}$.
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \cos \alpha)$ за скобки:
$(1 - \cos \alpha)\left(1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) = (1 - \cos \alpha)(1 - \operatorname{tg} \alpha)$.
Ответ: $(1 - \cos \alpha)(1 - \operatorname{tg} \alpha)$.

4) Для разложения на множители выражения $1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha$ представим $\operatorname{tg} \alpha$ как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (область допустимых значений $\cos \alpha \neq 0$).
$1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Сгруппируем слагаемые:
$(1 + \cos \alpha) + (\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Во второй группе вынесем $\sin \alpha$ за скобки:
$(1 + \cos \alpha) + \sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right) = (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right)$.
Вынесем общий множитель $(1 + \cos \alpha)$ за скобки:
$(1 + \cos \alpha)\left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) = (1 + \cos \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)$.
Ответ: $(1 + \cos \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)$.