Номер 552, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 552, страница 165.

Условие.

552 Доказать тождество:

1) $1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$;

2) $\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства тождества $1 + \text{tg} \, \alpha \, \text{tg} \, \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ преобразуем его левую часть.

Заменим тангенсы отношением синуса к косинусу, используя основное тригонометрическое соотношение $\text{tg} \, x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$1 + \text{tg} \, \alpha \, \text{tg} \, \beta = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ также преобразуем его левую часть.

Заменим тангенсы отношением синуса к косинусу:

$\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.