Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Проверь себя к главе 5 - номер 2, страница 166.

Условие.

2 Найти значение выражения:

1) $ \cos 135^\circ $

2) $ \sin \frac{8\pi}{3} $

3) $ \text{tg} \frac{7\pi}{3} $

4) $ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение $cos(135°)$, воспользуемся формулой приведения. Угол $135°$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Можно представить $135°$ как $180° - 45°$ или как $90° + 45°$.
Используем представление $135° = 180° - 45°$. Формула приведения: $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$.
$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$.
Значение $cos(45°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Чтобы найти значение $sin(\frac{8\pi}{3})$, сначала упростим аргумент, выделив целое число периодов. Период синуса равен $2\pi$.
Представим дробь $\frac{8\pi}{3}$ в виде смешанного числа: $\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
Так как $sin(x + 2\pi) = sin(x)$, то $sin(\frac{8\pi}{3}) = sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{2\pi}{3})$.
Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где синус положителен. Воспользуемся формулой приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Чтобы найти значение $tg(\frac{7\pi}{3})$, упростим аргумент. Период тангенса равен $\pi$.
Представим дробь $\frac{7\pi}{3}$ в виде: $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $tg(x + k\pi) = tg(x)$, где $k$ - целое число, то $tg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$.
Значение $tg(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

4) Выражение $cos^2\frac{\pi}{8} - sin^2\frac{\pi}{8}$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.
Применим формулу:
$cos^2\frac{\pi}{8} - sin^2\frac{\pi}{8} = cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{2\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$