Номер 559, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 559, страница 166.

Условие.

559 1) $\frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha;$

2) $\frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать тождество $ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \text{ctg } \alpha $, преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулами двойного угла: $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $ и $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.

Преобразуем числитель дроби:

$ 1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - \cos \alpha = 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha (2\cos \alpha - 1) $

Преобразуем знаменатель дроби:

$ \sin 2\alpha - \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha - 1) $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)} $

Сократим общий множитель $ (2\cos \alpha - 1) $ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $ \frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg } \frac{\alpha}{2} $, преобразуем его левую часть.

Выразим $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ через тригонометрические функции угла $ \frac{\alpha}{2} $, используя формулы двойного угла (для угла $ \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $):

$ \sin \alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

$ \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{\alpha}{2} (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $

Преобразуем знаменатель дроби:

$ 1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2} = 1 + (2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1) + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2} (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2} (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)}{\cos\frac{\alpha}{2} (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1)} $

Сократим общий множитель $ (2\cos\frac{\alpha}{2} + 1) $ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg } \frac{\alpha}{2} $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.