Номер 563, страница 167 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 5. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 563, страница 167.

Доказать тождество (563—564).

563 1) $\sin^2 (\\alpha + \\beta) = \sin^2 \\alpha + \sin^2 \\beta + 2 \sin \\alpha \sin \\beta \cos (\\alpha + \\beta)$;

2) $\sin \\alpha + 2 \sin 3\\alpha + \sin 5\\alpha = 4 \sin 3\\alpha \cos^2 \\alpha$.

1) Докажем тождество $sin^2(\alpha + \beta) = sin^2\alpha + sin^2\beta + 2 \sin\alpha \sin\beta \cos(\alpha + \beta)$.

Для доказательства будем преобразовывать правую часть равенства. Рассмотрим следующий подход: перенесем некоторые слагаемые, чтобы упростить выражение. Перенесем $sin^2\alpha$ из правой части в левую:

$sin^2(\alpha + \beta) - sin^2\alpha = sin^2\beta + 2 \sin\alpha \sin\beta \cos(\alpha + \beta)$

К левой части применим формулу разности квадратов синусов: $sin^2x - sin^2y = sin(x - y)sin(x + y)$. В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha$.

$sin^2(\alpha + \beta) - sin^2\alpha = sin((\alpha + \beta) - \alpha)sin((\alpha + \beta) + \alpha) = \sin\beta \cdot sin(2\alpha + \beta)$.

Теперь тождество, которое нужно доказать, имеет вид:

$\sin\beta \cdot sin(2\alpha + \beta) = sin^2\beta + 2 \sin\alpha \sin\beta \cos(\alpha + \beta)$

Вынесем общий множитель $\sin\beta$ в правой части:

$\sin\beta \cdot sin(2\alpha + \beta) = \sin\beta(\sin\beta + 2 \sin\alpha \cos(\alpha + \beta))$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin\beta \ne 0$. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на $\sin\beta$:

$sin(2\alpha + \beta) = \sin\beta + 2 \sin\alpha \cos(\alpha + \beta)$

Распишем левую часть, используя формулу синуса суммы: $sin(2\alpha + \beta) = sin((\alpha + \beta) + \alpha) = \sin(\alpha + \beta)\cos\alpha + \cos(\alpha + \beta)\sin\alpha$.

Подставим это в уравнение:

$\sin(\alpha + \beta)\cos\alpha + \cos(\alpha + \beta)\sin\alpha = \sin\beta + 2 \sin\alpha \cos(\alpha + \beta)$

Перенесем слагаемое $2 \sin\alpha \cos(\alpha + \beta)$ влево и приведем подобные:

$\sin(\alpha + \beta)\cos\alpha - \cos(\alpha + \beta)\sin\alpha = \sin\beta$

Левая часть является формулой синуса разности $sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, где $x = \alpha+\beta$ и $y = \alpha$:

$sin((\alpha+\beta)-\alpha) = \sin\beta$

Мы получили верное равенство $\sin\beta = \sin\beta$.

Случай 2: $\sin\beta = 0$. Это означает, что $\beta = k\pi$, где $k$ — целое число. Подставим это в исходное тождество.

Левая часть: $sin^2(\alpha + k\pi) = (\pm \sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Правая часть: $sin^2\alpha + sin^2(k\pi) + 2 \sin\alpha \sin(k\pi) \cos(\alpha + k\pi) = \sin^2\alpha + 0 + 2 \sin\alpha \cdot 0 \cdot \cos(\alpha+k\pi) = \sin^2\alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество верно для всех значений $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\sin\alpha + 2 \sin3\alpha + \sin5\alpha = 4 \sin3\alpha \cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем первое и третье слагаемые:

ЛЧ = $(\sin\alpha + \sin5\alpha) + 2 \sin3\alpha$

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов $sin x + sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{6\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha)$

Подставим полученный результат в выражение для левой части:

ЛЧ = $2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) + 2\sin3\alpha$

Вынесем общий множитель $2\sin(3\alpha)$ за скобки:

ЛЧ = $2\sin(3\alpha)(\cos(2\alpha) + 1)$

Далее воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Из этой формулы следует, что $\cos(2\alpha) + 1 = 2\cos^2\alpha$.

Подставим это в наше выражение:

ЛЧ = $2\sin(3\alpha) \cdot (2\cos^2\alpha) = 4\sin(3\alpha)\cos^2\alpha$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.