Номер 561, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 561, страница 166.

Условие.

561 Вычислить значение выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$, если $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для начала преобразуем данное выражение. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Воспользуемся формулой разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ для числителя:

$ \sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Тогда выражение в скобках станет $ (1 + \sin \alpha \cos \alpha) $. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $

По условию задачи нам известно, что $ \sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2} $. Теперь нам необходимо найти значение произведения $ \sin \alpha \cos \alpha $. Для этого возведем в квадрат обе части известного равенства:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} $

Сгруппируем слагаемые и снова используем основное тригонометрическое тождество:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

$ 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

Выразим отсюда $ \sin \alpha \cos \alpha $:

$ 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} $

$ 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{4} $

$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8} $

Теперь, когда у нас есть значения для $ \sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8} $, подставим их в преобразованное выражение:

$ \frac{\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{3}{8})}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{8} + \frac{3}{8})}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{11}{16}}{\frac{3}{8}} $

Выполним деление дробей:

$ \frac{11}{16} \div \frac{3}{8} = \frac{11}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{11 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{11}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6} $

Ответ: $ \frac{11}{6} $