Номер 566, страница 167 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 566, страница 167.

Условие.

Доказать тождество (566—567).

566 $\sin^2 \alpha + \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

566

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, обозначив ее как $L$:

$L = \sin^2 \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$

Рассмотрим произведение косинусов $\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$. Для его упрощения можно использовать формулу преобразования произведения в сумму: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y))$.

Либо, что более наглядно, применить формулы косинуса разности и суммы:

$\cos(x \mp y) = \cos x \cos y \pm \sin x \sin y$

Тогда произведение принимает вид разности квадратов:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right)\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right)$

$= \left(\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha\right)^2 - \left(\sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{3}\cos^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3}\sin^2\alpha$

Подставим табличные значения $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cos^2\alpha - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \sin^2\alpha = \frac{1}{4} \cos^2\alpha - \frac{3}{4} \sin^2\alpha$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:

$L = \sin^2 \alpha + \frac{1}{4} \cos^2\alpha - \frac{3}{4} \sin^2\alpha$

Сгруппируем слагаемые с $\sin^2\alpha$:

$L = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\sin^2\alpha + \frac{1}{4} \cos^2\alpha = \frac{1}{4} \sin^2\alpha + \frac{1}{4} \cos^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$L = \frac{1}{4} (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$L = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: тождество доказано.