Номер 560, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 560, страница 166.

Условие.

560 Вычислить tg $\frac{\alpha}{2}$, если cos $\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления $tg\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла, которая связывает его с косинусом полного угла:

$tg^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$

Прежде чем приступить к вычислениям, определим знак $tg\frac{\alpha}{2}$. Нам дано, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ лежит во второй четверти.

Чтобы найти, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$, разделим данное неравенство на 2:

$\frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$

Этот интервал соответствует первой координатной четверти, а тангенс в первой четверти положителен. Таким образом, $tg\frac{\alpha}{2} > 0$.

Теперь подставим данное значение $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ в формулу:

$tg^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби:

$1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь выполним деление:

$tg^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили $tg^2\frac{\alpha}{2} = 4$. Чтобы найти $tg\frac{\alpha}{2}$, извлечем квадратный корень:

$tg\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$

Поскольку мы ранее установили, что $tg\frac{\alpha}{2}$ должен быть положительным, выбираем значение 2.

Ответ: 2