Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Проверь себя к главе 5 - номер 1, страница 166.

Условие.

1 Вычислить $ \sin \alpha $, $ \tan \alpha $, $ \cos 2\alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

По условию задачи дано, что $cos\,\alpha = -\frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус является положительной величиной ($sin\,\alpha > 0$), а тангенс — отрицательной ($tg\,\alpha < 0$).

sin α

Для нахождения $sin\,\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Выразим из этого тождества $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$
Подставим известное значение $cos\,\alpha = -\frac{4}{5}$:
$sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
Из этого следует, что $sin\,\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, где синус положителен, мы выбираем значение со знаком «+».
Ответ: $sin\,\alpha = \frac{3}{5}$.

tg α

Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$.
Подставим найденное значение $sin\,\alpha$ и данное значение $cos\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{4}$
Полученное отрицательное значение тангенса соответствует второй координатной четверти.
Ответ: $tg\,\alpha = -\frac{3}{4}$.

cos 2α

Для вычисления косинуса двойного угла можно использовать любую из трех формул. Наиболее удобно использовать ту, которая содержит только косинус, так как его значение дано в условии: $cos\,2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$.
Подставим значение $cos\,\alpha = -\frac{4}{5}$:
$cos\,2\alpha = 2\left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{16}{25}\right) - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25}$
Для проверки можно использовать другую формулу, например, $cos\,2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$:
$cos\,2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16 - 9}{25} = \frac{7}{25}$
Результаты совпадают.
Ответ: $cos\,2\alpha = \frac{7}{25}$.