Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Проверь себя к главе 5 - номер 4, страница 166.

Условие.

4 Упростить выражение:

1) $ \sin (\alpha - \beta) - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \sin (-\beta); $

2) $ \cos^2 (\pi - \alpha) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right); $

3) $ 2 \sin \alpha \sin \beta + \cos (\alpha + \beta). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha - \beta) - \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot \sin(-\beta) $ воспользуемся тригонометрическими формулами.

Сначала применим формулы приведения и свойства четности/нечетности функций:

$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha $ (формула приведения, или кофункции)

$ \sin(-\beta) = -\sin\beta $ (свойство нечетности синуса)

Теперь подставим эти упрощенные выражения в исходное:

$ \sin(\alpha - \beta) - \cos\alpha \cdot (-\sin\beta) = \sin(\alpha - \beta) + \cos\alpha \sin\beta $

Далее раскроем синус разности по формуле $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:

$ (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) + \cos\alpha \sin\beta $

Сокращаем подобные слагаемые $ -\cos\alpha \sin\beta $ и $ +\cos\alpha \sin\beta $:

$ \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $

Ответ: $ \sin\alpha \cos\beta $

2) Для упрощения выражения $ \cos^2(\pi - \alpha) - \cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ применим формулы приведения.

Для первого слагаемого: $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $. Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

Для второго слагаемого: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $. Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha $.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $

Это выражение является формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) $.

Ответ: $ \cos(2\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ 2 \sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta) $ используем формулу косинуса суммы.

Формула косинуса суммы углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$ 2 \sin\alpha \sin\beta + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) $

Теперь приведем подобные слагаемые:

$ (2 \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta) + \cos\alpha \cos\beta = \sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta $

Полученное выражение $ \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ является формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) $.

Ответ: $ \cos(\alpha - \beta) $