Номер 562, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 562, страница 166.

Условие.

562 Вычислить значение выражения $ \frac{4 \sin 2\alpha + 5 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 3 \cos 2\alpha} $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы вычислить значение данного выражения, мы можем преобразовать его, выразив через $\text{tg} \, 2\alpha$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos 2\alpha$, при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$.

$$ \frac{4 \sin 2\alpha + 5 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 3 \cos 2\alpha} = \frac{\frac{4 \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{5 \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{\frac{2 \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{3 \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha}} = \frac{4 \text{tg} \, 2\alpha + 5}{2 \text{tg} \, 2\alpha - 3} $$

Теперь нам нужно найти значение $\text{tg} \, 2\alpha$. Из условия задачи мы знаем, что $\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{3}$. Найдем $\text{tg} \, \alpha$:

$$ \text{tg} \, \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \, \alpha} = \frac{1}{1/3} = 3 $$

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ \text{tg} \, 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} $$

Подставим в эту формулу значение $\text{tg} \, \alpha = 3$:

$$ \text{tg} \, 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $$

Так как мы получили конечное значение для $\text{tg} \, 2\alpha$, наше начальное предположение, что $\cos 2\alpha \neq 0$, верно.

Теперь подставим найденное значение $\text{tg} \, 2\alpha = -\frac{3}{4}$ в преобразованное выражение:

$$ \frac{4 \text{tg} \, 2\alpha + 5}{2 \text{tg} \, 2\alpha - 3} = \frac{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + 5}{2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) - 3} = \frac{-3 + 5}{-\frac{3}{2} - 3} $$

Упростим полученную дробь:

$$ \frac{2}{-\frac{3}{2} - \frac{6}{2}} = \frac{2}{-\frac{9}{2}} = 2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{4}{9} $$

Ответ: $-\frac{4}{9}$.