Номер 569, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 569, страница 171.

Условие.

569 1) $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1;$

2) $3 \arccos (-1) - 2 \arccos 0;$

3) $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right);$

4) $4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 6 \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим значение выражения $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1$.
Для этого найдем значения арккосинусов по отдельности. Арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) – это такое число (угол в радианах) из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$.
Найдем $\arccos 0$. Нам нужен угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен 0. Это угол $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
Найдем $\arccos 1$. Нам нужен угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен 1. Это угол 0. Таким образом, $\arccos 1 = 0$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot (\arccos 0) + 3 \cdot (\arccos 1) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 3 \cdot 0 = \pi + 0 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

2) Вычислим значение выражения $3 \arccos (-1) - 2 \arccos 0$.
Найдем значения арккосинусов.
$\arccos (-1)$ – это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен -1. Это угол $\pi$. Таким образом, $\arccos (-1) = \pi$.
$\arccos 0$ – это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен 0. Это угол $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$3 \cdot (\arccos (-1)) - 2 \cdot (\arccos 0) = 3 \cdot \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi - \pi = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

3) Вычислим значение выражения $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos (-\frac{1}{2})$.
Найдем значения арккосинусов.
$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Для нахождения $\arccos (-\frac{1}{2})$ воспользуемся свойством $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos (-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos \frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, – это $\frac{\pi}{3}$.
Значит, $\arccos (-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$12 \cdot (\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}) - 3 \cdot (\arccos (-\frac{1}{2})) = 12 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi - 2\pi = 0$.
Ответ: 0.

4) Вычислим значение выражения $4 \arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Найдем значения арккосинусов, используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
Найдем $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
$\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Найдем $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$4 \cdot (\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})) + 6 \cdot (\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$.
Ответ: $8\pi$.