Номер 573, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 573, страница 172.

Условие.

573 1) $cos 4x = 1;$

2) $cos 2x = -1;$

3) $\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1;$

4) $2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3};$

5) $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0;$

6) $\cos \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $cos(4x) = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном уравнении аргументом косинуса является $4x$, поэтому приравниваем его к общему решению:

$4x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos(2x) = -1$.

Это также частный случай. Общее решение для уравнения $cos(t) = -1$ записывается как $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$. Подставляем в общую формулу:

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{2} \cos\frac{x}{4} = -1$.

Сначала выразим $\cos\frac{x}{4}$, разделив обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\cos\frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель: $-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Уравнение принимает вид:

$\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ (где $|a| \le 1$) имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арккосинуса $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 4:

$x = 4 \cdot \left(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right)$

$x = \pm 3\pi + 8\pi k$

Ответ: $x = \pm 3\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $2 \cos\frac{x}{3} = \sqrt{3}$.

Разделим обе части на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем общую формулу для решения уравнения $\cos(t) = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Записываем решение для аргумента:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $x$ умножим всё уравнение на 3:

$x = 3 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right)$

$x = \pm \frac{3\pi}{6} + 6\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Это частный случай, общее решение которого имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Аргумент косинуса $t = x + \frac{\pi}{3}$. Приравниваем его к общему решению:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Как и в предыдущем примере, это частный случай с решением $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Аргумент $t = 2x - \frac{\pi}{4}$. Составляем уравнение:

$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сначала выразим $2x$, перенеся $-\frac{\pi}{4}$ вправо:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

Складываем дроби в правой части:

$2x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi k$

$2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$

Наконец, находим $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.