Номер 580, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 580, страница 172.

Условие.

580 Доказать, что при всех значениях a, таких, что $-1 \le a \le 1$, выполняется равенство $cos (arccos a) = a$. Вычислить:

1) $cos (arccos 0,2)$;

2) $cos \left(arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right)$;

3) $cos \left(\pi + arccos \frac{3}{4}\right)$;

4) $sin \left(\frac{\pi}{2} + arccos \frac{1}{3}\right)$;

5) $sin \left(arccos \frac{4}{5}\right)$;

6) $tg \left(arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство:
По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это угол $\alpha$, который удовлетворяет двум условиям:
1) $\cos \alpha = a$
2) $0 \le \alpha \le \pi$
Данное определение имеет смысл для всех $a$ из отрезка $[-1, 1]$, как и указано в условии.
Чтобы доказать равенство $\cos(\arccos a) = a$, мы можем обозначить $\arccos a$ как $\alpha$.
Тогда левая часть равенства, $\cos(\arccos a)$, превращается в $\cos \alpha$.
Согласно первому условию из определения арккосинуса, $\cos \alpha = a$.
Таким образом, мы показали, что $\cos(\arccos a) = a$.

1)
Используем доказанное выше тождество $\cos(\arccos a) = a$. Для $a = 0,2$, которое находится в промежутке $[-1, 1]$, имеем:
$\cos(\arccos 0,2) = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

2)
Используем тождество $\cos(\arccos a) = a$. Для $a = -\frac{2}{3}$, которое находится в промежутке $[-1, 1]$, имеем:
$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

3)
Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.
Пусть $\alpha = \arccos \frac{3}{4}$.
Тогда $\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos \frac{3}{4}\right)$.
Применяя тождество $\cos(\arccos a) = a$, получаем:
$-\cos\left(\arccos \frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4)
Используем формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$.
Пусть $\alpha = \arccos \frac{1}{3}$.
Тогда $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos \frac{1}{3}\right)$.
Применяя тождество $\cos(\arccos a) = a$, получаем:
$\cos\left(\arccos \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

5)
Пусть $\alpha = \arccos \frac{4}{5}$. По определению арккосинуса, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Нам нужно найти $\sin(\alpha)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то на этом промежутке $\sin \alpha \ge 0$. Следовательно, мы выбираем положительное значение корня.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, $\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

6)
Пусть $\alpha = \arccos \frac{3}{\sqrt{10}}$. По определению арккосинуса, $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Нам нужно найти $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Сначала найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.
Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin \alpha \ge 0$.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Теперь найдем тангенс:
$\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $\text{tg}\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.