Номер 580, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014

Авторы: Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: синий, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112136-0

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 33. Уравнение cosx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 580, страница 172.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№580 (с. 172)
Условие. №580 (с. 172)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Условие Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Условие (продолжение 2)

580 Доказать, что при всех значениях a, таких, что 1a1-1 \le a \le 1, выполняется равенство cos(arccosa)=acos (arccos a) = a. Вычислить:

1) cos(arccos0,2)cos (arccos 0,2);

2) cos(arccos(23))cos \left(arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right);

3) cos(π+arccos34)cos \left(\pi + arccos \frac{3}{4}\right);

4) sin(π2+arccos13)sin \left(\frac{\pi}{2} + arccos \frac{1}{3}\right);

5) sin(arccos45)sin \left(arccos \frac{4}{5}\right);

6) tg(arccos310)tg \left(arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Решение 1. №580 (с. 172)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 1 (продолжение 6)
Решение 2. №580 (с. 172)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 4. №580 (с. 172)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 4 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 5. №580 (с. 172)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 7. №580 (с. 172)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, страница 172, номер 580, Решение 7
Решение 8. №580 (с. 172)

Доказательство:
По определению, арккосинус числа aa (обозначается как arccosa\arccos a) — это угол α\alpha, который удовлетворяет двум условиям:
1) cosα=a\cos \alpha = a
2) 0απ0 \le \alpha \le \pi
Данное определение имеет смысл для всех aa из отрезка [1,1][-1, 1], как и указано в условии.
Чтобы доказать равенство cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a, мы можем обозначить arccosa\arccos a как α\alpha.
Тогда левая часть равенства, cos(arccosa)\cos(\arccos a), превращается в cosα\cos \alpha.
Согласно первому условию из определения арккосинуса, cosα=a\cos \alpha = a.
Таким образом, мы показали, что cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a.

1)
Используем доказанное выше тождество cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a. Для a=0,2a = 0,2, которое находится в промежутке [1,1][-1, 1], имеем:
cos(arccos0,2)=0,2\cos(\arccos 0,2) = 0,2.
Ответ: 0,20,2.

2)
Используем тождество cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a. Для a=23a = -\frac{2}{3}, которое находится в промежутке [1,1][-1, 1], имеем:
cos(arccos(23))=23\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}.
Ответ: 23-\frac{2}{3}.

3)
Используем формулу приведения cos(π+α)=cosα\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha.
Пусть α=arccos34\alpha = \arccos \frac{3}{4}.
Тогда cos(π+arccos34)=cos(arccos34)\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos \frac{3}{4}\right).
Применяя тождество cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a, получаем:
cos(arccos34)=34-\cos\left(\arccos \frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}.
Ответ: 34-\frac{3}{4}.

4)
Используем формулу приведения sin(π2+α)=cosα\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha.
Пусть α=arccos13\alpha = \arccos \frac{1}{3}.
Тогда sin(π2+arccos13)=cos(arccos13)\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos \frac{1}{3}\right).
Применяя тождество cos(arccosa)=a\cos(\arccos a) = a, получаем:
cos(arccos13)=13\cos\left(\arccos \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}.
Ответ: 13\frac{1}{3}.

5)
Пусть α=arccos45\alpha = \arccos \frac{4}{5}. По определению арккосинуса, cosα=45\cos \alpha = \frac{4}{5} и 0απ0 \le \alpha \le \pi.
Нам нужно найти sin(α)\sin(\alpha). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin2α+cos2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
sin2α=1cos2α=1(45)2=11625=251625=925\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}.
Так как 0απ0 \le \alpha \le \pi, то на этом промежутке sinα0\sin \alpha \ge 0. Следовательно, мы выбираем положительное значение корня.
sinα=925=35\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.
Таким образом, sin(arccos45)=35\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}.
Ответ: 35\frac{3}{5}.

6)
Пусть α=arccos310\alpha = \arccos \frac{3}{\sqrt{10}}. По определению арккосинуса, cosα=310\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} и 0απ0 \le \alpha \le \pi.
Нам нужно найти tg(α)=sinαcosα\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
Сначала найдем sinα\sin \alpha из основного тригонометрического тождества: sin2α+cos2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
sin2α=1cos2α=1(310)2=1910=110\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}.
Так как 0απ0 \le \alpha \le \pi, то sinα0\sin \alpha \ge 0.
sinα=110=110\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}.
Теперь найдем тангенс:
tgα=sinαcosα=1/103/10=13\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}.
Таким образом, tg(arccos310)=13\text{tg}\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \frac{1}{3}.
Ответ: 13\frac{1}{3}.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 580 расположенного на странице 172 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №580 (с. 172), авторов: Алимов (Шавкат Арифджанович), Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться