Номер 587, страница 177 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 587, страница 177.

Условие.

587 1) $\arcsin 1 - \arcsin (-1)$;

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

3) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\arcsin 1 - \arcsin (-1)$

По определению, $\arcsin a$ — это угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin y = a$.
Находим значение для каждого члена выражения:
$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin (-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Подставляем и вычисляем: $\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Выражение преобразуется в: $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} - \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
Альтернативный способ (прямое вычисление):
$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Сумма: $\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = 0$.

Ответ: $0$.

3) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Находим значение каждого слагаемого по определению арксинуса:
$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Складываем полученные значения: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin (-\frac{1}{2})$

Используем свойство нечетности функции арксинуса $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$ для каждого слагаемого:
$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$.
$\arcsin (-\frac{1}{2}) = -\arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6}$.
Складываем полученные значения: $-\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.