Номер 591, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 591, страница 178.

Условие.

591 1) $\sin 3x = 1$; 2) $\sin 2x = -1$; 3) $\sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1$;
4) $2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3}$; 5) $\sin \left(x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0$; 6) $\sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $sin(3x) = 1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $sin(t) = 1$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 3x$. Следовательно, мы можем записать:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin(2x) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $sin(t) = -1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x$. Следовательно:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right)$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{2} sin(\frac{x}{3}) = -1$.

Сначала выразим $sin(\frac{x}{3})$, разделив обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$sin(\frac{x}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель: $sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $sin(t) = a$ дается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:

$x = 3 \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k \right)$

$x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $2 sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$.

Сначала выразим $sin(\frac{x}{2})$, разделив обе части уравнения на 2:

$sin(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $sin(t) = a$ дается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{2}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:

$x = 2 \left( (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k \right)$

$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sin(x + \frac{3\pi}{4}) = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = x + \frac{3\pi}{4}$. Следовательно:

$x + \frac{3\pi}{4} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{3\pi}{4}$ из обеих частей уравнения:

$x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $sin(2x + \frac{\pi}{2}) = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = 2x + \frac{\pi}{2}$. Следовательно:

$2x + \frac{\pi}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Сначала вычтем $\frac{\pi}{2}$ из обеих частей:

$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n \right)$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.