Номер 595, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 595, страница 178.

Условие.

595 1) $1 + \cos 5x \sin 4x = \cos 4x \sin 5x;$

2) $1 - \sin x \cos 2x = \cos x \sin 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 + \cos 5x \sin 4x = \cos 4x \sin 5x$

Перенесем слагаемое $\cos 5x \sin 4x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$1 = \cos 4x \sin 5x - \cos 5x \sin 4x$

В правой части уравнения мы видим формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 4x$. Применим эту формулу:

$1 = \sin(5x - 4x)$

Упростим выражение в скобках:

$1 = \sin x$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение — это значения угла, при которых синус равен единице.

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

2) $1 - \sin x \cos 2x = \cos x \sin 2x$

Перенесем слагаемое $\sin x \cos 2x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$1 = \cos x \sin 2x + \sin x \cos 2x$

В правой части уравнения мы видим формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу:

$1 = \sin(2x + x)$

Упростим выражение в скобках:

$1 = \sin(3x)$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$