Номер 601, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 601, страница 179.

Условие.

Вычислить (601—603).

601 1) $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$;

2) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)\right)$;

3) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$;

4) $\cos \left(\arcsin \frac{1}{4}\right).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления данных выражений воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ и определением арксинуса.

Для любого числа $x \in [-1, 1]$ выражение $\alpha = \arcsin(x)$ определяет угол, для которого $\sin(\alpha) = x$ и $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Поскольку угол $\alpha$ находится в I или IV четверти (где косинус положителен или равен нулю), его косинус всегда неотрицателен: $\cos(\alpha) \ge 0$.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}$. Подставив $\sin(\alpha) = x$, получаем общую формулу: $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$.

Применим эту формулу к каждому из заданий.

1) $\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$

Используем формулу $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ при $x = \frac{3}{5}$:

$\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

2) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$

Используем формулу при $x = -\frac{4}{5}$:

$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

3) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

Используем формулу при $x = -\frac{1}{3}$:

$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9-1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

4) $\cos\left(\arcsin\frac{1}{4}\right)$

Используем формулу при $x = \frac{1}{4}$:

$\cos\left(\arcsin\frac{1}{4}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16-1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{4}$