Номер 608, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 35. Уравнение tgx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 608, страница 183.

608 1) $6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} - 4 \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right);$

2) $2 \operatorname{arctg} 1 + 3 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right);$

3) $5 \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) - 3 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) Вычислим значение выражения $6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} - 4 \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Для этого сначала найдем значения аркфункций.

• По определению, $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ - это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$.
  Следовательно, $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
• По определению, $\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ - это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
  Используя свойство нечетности функции арксинус, $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, получаем: $\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
  Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
  Следовательно, $\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} - 4 \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 6 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\pi - (- \pi) = 2\pi + \pi = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

2) Вычислим значение выражения $2 \operatorname{arctg} 1 + 3 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.
Найдем значения аркфункций.

• $\operatorname{arctg} 1$ - это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.
  Таким образом, $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$.
• $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$ - это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$.
  Используя свойство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, имеем: $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)$.
  Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $\arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
  Следовательно, $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим найденные значения в выражение:
$2 \operatorname{arctg} 1 + 3 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

3) Вычислим значение выражения $5 \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) - 3 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Найдем значения аркфункций.

• $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3})$ - это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$.
  Используя свойство нечетности функции арктангенс, $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$, получаем: $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
• $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ - это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, имеем: $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
  Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
  Следовательно, $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставим значения в исходное выражение:
$5 \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) - 3 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3 \cdot \left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{5\pi}{3} - \frac{9\pi}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12$:
$-\frac{5\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{9\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{20\pi}{12} - \frac{27\pi}{12} = \frac{-20\pi - 27\pi}{12} = -\frac{47\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{47\pi}{12}$.