Номер 605, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

605 Доказать, что если $0 \le a \le 1$, то $2 \arcsin a = \arccos (1 - 2a^2)$.

Для доказательства данного тождества введем замену и воспользуемся тригонометрическими формулами.

Пусть $y = \arcsin a$.

По определению арксинуса, это равенство означает, что $\sin y = a$, а угол $y$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Согласно условию задачи, переменная $a$ удовлетворяет неравенству $0 \le a \le 1$. Найдем соответствующий диапазон для $y$. Так как функция $\arcsin a$ монотонно возрастает, мы можем применить ее ко всем частям неравенства:

$\arcsin 0 \le \arcsin a \le \arcsin 1$

Вычисляя значения, получаем:

$0 \le y \le \frac{\pi}{2}$

Теперь рассмотрим правую часть исходного тождества: $\arccos(1 - 2a^2)$. Подставим в нее выражение $a = \sin y$:

$\arccos(1 - 2a^2) = \arccos(1 - 2\sin^2 y)$

Применим известную формулу косинуса двойного угла: $\cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y$.

После подстановки выражение принимает вид:

$\arccos(\cos(2y))$

По определению, функция $\arccos x$ является обратной к функции $\cos x$ на отрезке $[0, \pi]$. Это значит, что тождество $\arccos(\cos z) = z$ справедливо только при условии, что $z \in [0, \pi]$.

Проверим, выполняется ли это условие для нашего аргумента $2y$. Ранее мы установили, что $0 \le y \le \frac{\pi}{2}$. Умножив это неравенство на 2, получим:

$0 \cdot 2 \le 2y \le \frac{\pi}{2} \cdot 2$

$0 \le 2y \le \pi$

Поскольку $2y$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, равенство $\arccos(\cos(2y)) = 2y$ является верным.

Теперь выполним обратную замену $y = \arcsin a$:

$2y = 2 \arcsin a$

Таким образом, мы доказали, что правая часть исходного уравнения $\arccos(1 - 2a^2)$ равна $2 \arcsin a$, что в точности совпадает с его левой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $2 \arcsin a = \arccos(1 - 2a^2)$ для $0 \le a \le 1$ доказано.