Номер 599, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 599, страница 178.

Условие.

599 Доказать, что $ \sin (\arcsin a) = a $ при $ -1 \le a \le 1 $. Вычислить:

1) $ \sin \left(\arcsin \frac{1}{7}\right) $;

2) $ \sin \left(\arcsin \left(-\frac{1}{5}\right)\right) $;

3) $ \sin \left(\pi + \arcsin \frac{3}{4}\right) $;

4) $ \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}\right) $;

5) $ \cos \left(\arcsin \frac{4}{5}\right) $;

6) $ \operatorname{tg} \left(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}\right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство тождества $\sin(\arcsin a) = a$ при $-1 \le a \le 1$

По определению арксинуса, $\arcsin a$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. То есть, если мы обозначим $\alpha = \arcsin a$, то по определению выполняется равенство $\sin \alpha = a$. Подставляя $\arcsin a$ обратно вместо $\alpha$ в это равенство, мы получаем искомое тождество: $\sin(\arcsin a) = a$. Это равенство справедливо для всех $a$ из области определения арксинуса, то есть при $-1 \le a \le 1$.

1) Для вычисления $\sin\left(\arcsin \frac{1}{7}\right)$ применим доказанное выше тождество $\sin(\arcsin a) = a$. В данном случае $a = \frac{1}{7}$. Так как $-1 \le \frac{1}{7} \le 1$, тождество применимо.
$\sin\left(\arcsin \frac{1}{7}\right) = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

2) Для вычисления $\sin\left(\arcsin \left(-\frac{1}{5}\right)\right)$ также используем тождество $\sin(\arcsin a) = a$. Здесь $a = -\frac{1}{5}$. Условие $-1 \le -\frac{1}{5} \le 1$ выполняется.
$\sin\left(\arcsin \left(-\frac{1}{5}\right)\right) = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

3) Для вычисления $\sin\left(\pi + \arcsin \frac{3}{4}\right)$ воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin \frac{3}{4}$. Тогда
$\sin\left(\pi + \arcsin \frac{3}{4}\right) = -\sin\left(\arcsin \frac{3}{4}\right)$.
Используя основное тождество для арксинуса, получаем:
$-\sin\left(\arcsin \frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}\right)$ применим формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin \frac{1}{3}$. Тогда
$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}\right) = -\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right)$.
По основному тождеству для арксинуса:
$-\sin\left(\arcsin \frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

5) Для вычисления $\cos\left(\arcsin \frac{4}{5}\right)$ обозначим $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$. По определению, $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Поскольку $\sin\alpha = \frac{4}{5} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$). Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ выразим косинус:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

6) Для вычисления $\text{tg}\left(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ обозначим $\alpha = \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}$. Тогда $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ (поскольку $\sin\alpha > 0$). Найдём $\cos\alpha$. В первой четверти $\cos\alpha > 0$.
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
Теперь найдём тангенс по определению $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:
$\text{tg}\alpha = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.