Номер 598, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 598, страница 178.

Условие.

598 Найти все корни уравнения $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\log_{\pi} (x - 4\pi) < 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти все решения тригонометрического уравнения, а затем из этих решений выбрать те, которые удовлетворяют заданному логарифмическому неравенству.

1. Нахождение корней уравнения $\sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Данное уравнение является простейшим тригонометрическим. Общее решение для аргумента $\frac{x}{2}$ можно найти через арксинус. Мы знаем, что $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ записывается в виде совокупности двух серий:

$y = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $y = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Применительно к нашему уравнению, где $y = \frac{x}{2}$:

1) $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\frac{x}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем $x$ для каждой серии, умножив обе части на 2:

1) $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Это все корни исходного тригонометрического уравнения.

2. Решение неравенства $\log_{\pi}(x - 4\pi) < 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi$.

Теперь решим само неравенство. Представим единицу в виде логарифма с основанием $\pi$:

$1 = \log_{\pi}(\pi)$.

Неравенство приобретает вид:

$\log_{\pi}(x - 4\pi) < \log_{\pi}(\pi)$.

Основание логарифма $\pi \approx 3.14159...$, то есть $\pi > 1$. Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x - 4\pi < \pi$

$x < \pi + 4\pi$

$x < 5\pi$.

Объединяя полученный результат с ОДЗ, находим интервал, которому должны удовлетворять искомые корни:

$4\pi < x < 5\pi$.

3. Отбор корней

Теперь необходимо проверить, какие из найденных корней уравнения попадают в интервал $(4\pi, 5\pi)$.

Проверка первой серии корней: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Составим двойное неравенство:

$4\pi < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$4 < \frac{2}{3} + 4n < 5$.

Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей:

$4 - \frac{2}{3} < 4n < 5 - \frac{2}{3}$

$\frac{10}{3} < 4n < \frac{13}{3}$.

Разделим все части на 4:

$\frac{10}{12} < n < \frac{13}{12}$

$\frac{5}{6} < n < 1\frac{1}{12}$.

Единственное целое число $n$, находящееся в этом интервале, — это $n=1$.

Найдем корень, соответствующий $n=1$:

$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi(1) = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}$.

Этот корень удовлетворяет условию, так как $4\pi = \frac{12\pi}{3}$ и $5\pi = \frac{15\pi}{3}$, а $\frac{12\pi}{3} < \frac{14\pi}{3} < \frac{15\pi}{3}$.

Проверка второй серии корней: $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

Составим двойное неравенство:

$4\pi < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$4 < \frac{4}{3} + 4n < 5$.

Вычтем $\frac{4}{3}$ из всех частей:

$4 - \frac{4}{3} < 4n < 5 - \frac{4}{3}$

$\frac{8}{3} < 4n < \frac{11}{3}$.

Разделим все части на 4:

$\frac{8}{12} < n < \frac{11}{12}$

$\frac{2}{3} < n < \frac{11}{12}$.

В этом интервале нет целых чисел $n$. Следовательно, эта серия корней не дает решений, удовлетворяющих неравенству.

Таким образом, существует только один корень, удовлетворяющий условиям задачи.

Ответ: $x = \frac{14\pi}{3}$.