Номер 597, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 597, страница 178.

Условие.

597 Найти все корни уравнения $ \sin 2x = \frac{1}{2} $, принадлежащие отрезку $ [0; 2\pi] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти все корни уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 2\pi]$, сначала решим это тригонометрическое уравнение в общем виде, а затем отберем корни, принадлежащие заданному отрезку.

1. Нахождение общего решения.

Пусть $t = 2x$. Тогда уравнение принимает вид $\sin t = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения имеют вид:
$t = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$ и $t = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем две серии решений для $t$:
1) $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
2) $t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:
1) $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \pi n$
2) $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

2. Отбор корней на отрезке $[0; 2\pi]$.

Будем перебирать целочисленные значения $n$ для каждой серии решений и проверять, попадает ли полученный корень в отрезок $[0; 2\pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$:

• При $n=0$: $x_1 = \frac{\pi}{12} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{12}$. Корень $\frac{\pi}{12}$ принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
• При $n=1$: $x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi \cdot 1 = \frac{13\pi}{12}$. Корень $\frac{13\pi}{12}$ принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
• При $n=2$: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$. Этот корень больше, чем $2\pi$, и не принадлежит отрезку.
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$. Этот корень меньше 0 и не принадлежит отрезку.

Для второй серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$:

• При $n=0$: $x_3 = \frac{5\pi}{12} + \pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{12}$. Корень $\frac{5\pi}{12}$ принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
• При $n=1$: $x_4 = \frac{5\pi}{12} + \pi \cdot 1 = \frac{17\pi}{12}$. Корень $\frac{17\pi}{12}$ принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
• При $n=2$: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{29\pi}{12}$. Этот корень больше, чем $2\pi$, и не принадлежит отрезку.
• При $n=-1$: $x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12}$. Этот корень меньше 0 и не принадлежит отрезку.

Таким образом, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$.