Номер 590, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 34. Уравнение sinx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 590, страница 178.

590 1) $ \sin x = \frac{2}{7} $;

2) $ \sin x = -\frac{1}{4} $;

3) $ \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

1) Дано простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{2}{7}$.
Общая формула для решения уравнений вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, выглядит следующим образом:
$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{2}{7}$. Поскольку $|\frac{2}{7}| = \frac{2}{7} < 1$, уравнение имеет решения.
Подставим значение $a$ в общую формулу:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\frac{2}{7}$ не является табличным значением для синуса, ответ остается в таком виде.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = -\frac{1}{4}$.
Общая формула для решения уравнений вида $\sin x = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{4}$. Поскольку $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$, уравнение имеет решения.
Подставим значение $a$ в формулу:
$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для упрощения выражения можно использовать свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
$x = (-1)^n \left(-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) + \pi n$
$x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Обе формы записи ответа являются верными.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Уравнение вида $\sin x = a$ имеет решения только при условии $|a| \le 1$. Проверим это условие.
$a = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Чтобы сравнить это число с 1, возведем его в квадрат: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{5}{9}$.
Так как $\frac{5}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Условие выполняется, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу решения: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляем наше значение $a$:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\frac{\sqrt{5}}{3}$ не является табличным значением, ответ записывается в таком виде.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.