Номер 588, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 34. Уравнение sinx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 588, страница 178.

588 Сравнить числа:

1) $\arcsin \frac{1}{4}$ и $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right);$

2) $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\arcsin (-1).

1)

Для сравнения чисел $ \arcsin\frac{1}{4} $ и $ \arcsin(-\frac{1}{4}) $ воспользуемся основным свойством функции арксинус. Функция $ y = \arcsin(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых двух чисел $ x_1 $ и $ x_2 $ из этого отрезка, если $ x_1 > x_2 $, то и $ \arcsin(x_1) > \arcsin(x_2) $.

Сначала сравним аргументы данных функций: $ \frac{1}{4} $ и $ -\frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{1}{4} $ — это положительное число, а $ -\frac{1}{4} $ — отрицательное, очевидно, что $ \frac{1}{4} > -\frac{1}{4} $.

Так как функция $ \arcsin(x) $ возрастающая, то из неравенства для аргументов $ \frac{1}{4} > -\frac{1}{4} $ следует такое же неравенство для значений функции: $ \arcsin\frac{1}{4} > \arcsin(-\frac{1}{4}) $.

Ответ: $ \arcsin\frac{1}{4} > \arcsin(-\frac{1}{4}) $.

2)

Для сравнения чисел $ \arcsin(-\frac{3}{4}) $ и $ \arcsin(-1) $ также воспользуемся свойством возрастания функции $ y = \arcsin(x) $.

Сравним аргументы арксинусов: $ -\frac{3}{4} $ и $ -1 $.

Мы знаем, что $ -\frac{3}{4} = -0.75 $. Сравнивая десятичные дроби, получаем $ -0.75 > -1 $. Следовательно, $ -\frac{3}{4} > -1 $.

Поскольку функция $ \arcsin(x) $ является возрастающей на отрезке $ [-1, 1] $, из неравенства $ -\frac{3}{4} > -1 $ следует, что $ \arcsin(-\frac{3}{4}) > \arcsin(-1) $.

Ответ: $ \arcsin(-\frac{3}{4}) > \arcsin(-1) $.