Номер 589, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 589, страница 178.

Условие.

Решить уравнение (589—592).

589 1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$; 2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$; 3) $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения вида $ \sin x = a $. Общее решение таких уравнений находится по формуле: $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В данном уравнении $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение арксинуса для этого числа является табличным:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.

Подставим это значение в общую формулу для нахождения корней уравнения:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для решения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ \sin x = a $: $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В этом случае $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Находим табличное значение арксинуса:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем найденное значение в формулу общего решения:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3)

Решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$ -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь уравнение имеет вид $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение ищется по формуле $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $.

$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем это значение в общую формулу:

$ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Это выражение можно записать в более компактном виде, внеся знак "минус" в показатель степени $ (-1) $:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.