Номер 596, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 596, страница 178.

Условие.

596 1) $ (4 \sin x - 3)(2 \sin x + 1) = 0; $

2) $ (4 \sin 3x - 1)(2 \sin x + 3) = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение $(4 \sin x - 3)(2 \sin x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$4 \sin x - 3 = 0$ или $2 \sin x + 1 = 0$.

Решим каждое уравнение по отдельности.

Первое уравнение:
$4 \sin x - 3 = 0$
$4 \sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$
Так как $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общее решение для $\sin x = a$ записывается как $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение:
$2 \sin x + 1 = 0$
$2 \sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Общее решение: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение $(4 \sin 3x - 1)(2 \sin x + 3) = 0$.
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$4 \sin 3x - 1 = 0$ или $2 \sin x + 3 = 0$.

Решим каждое уравнение по отдельности.

Первое уравнение:
$4 \sin 3x - 1 = 0$
$4 \sin 3x = 1$
$\sin 3x = \frac{1}{4}$
Применяем общую формулу решения:
$3x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение:
$2 \sin x + 3 = 0$
$2 \sin x = -3$
$\sin x = -\frac{3}{2}$
Так как область значений функции синус $E(\sin x) = [-1; 1]$, а $-\frac{3}{2} = -1.5$, что не входит в эту область, данное уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решением исходного уравнения являются только корни первого уравнения.
Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.