Номер 600, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 600, страница 179.

Условие.

600 Доказать, что $\arcsin (\sin \alpha) = \alpha \text{ при } -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Вычислить:

1) $7 \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{7}\right)$;

2) $4 \arcsin \left(\sin \frac{1}{2}\right)$;

3) $\arcsin \left(\sin \frac{6\pi}{7}\right)$;

4) $\arcsin (\sin 5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство:

По определению арксинуса, $\arcsin(x)$ — это число (угол) $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. То есть, $y = \arcsin(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases}\sin(y) = x \\-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}\end{cases}$

Пусть $y = \arcsin(\sin(\alpha))$. В нашем случае $x = \sin(\alpha)$.

Тогда, по определению, должны выполняться два условия:

1) $\sin(y) = \sin(\alpha)$

2) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

По условию задачи, нам дано, что $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Мы имеем два угла, $y$ и $\alpha$, которые принадлежат одному и тому же отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $f(t) = \sin(t)$ является монотонно возрастающей, а это значит, что каждому значению функции соответствует только одно значение аргумента.

Поскольку $\sin(y) = \sin(\alpha)$ и оба угла, $y$ и $\alpha$, лежат на интервале монотонности синуса, то равенство их синусов влечет за собой равенство самих углов: $y = \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что $\arcsin(\sin(\alpha)) = \alpha$ при $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Вычисления:

1) $7 \arcsin(\sin\frac{\pi}{7})$

Проверим, принадлежит ли угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{2}$ является верным, так как $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{7} \le \frac{1}{2}$. Следовательно, мы можем применить доказанное тождество: $\arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$. Тогда исходное выражение равно $7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi$.

Ответ: $\pi$

2) $4 \arcsin(\sin\frac{1}{2})$

Проверим, принадлежит ли угол $\alpha = \frac{1}{2}$ (в радианах) отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Условие $-1.57 \le 0.5 \le 1.57$ выполняется. Значит, $\arcsin(\sin\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$. Тогда исходное выражение равно $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $2$

3) $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7})$

Угол $\alpha = \frac{6\pi}{7}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $\frac{6\pi}{7} > \frac{\pi}{2}$ (потому что $\frac{6}{7} > \frac{1}{2}$). Поэтому мы не можем напрямую применить тождество. Нам нужно найти такой угол $\beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, чтобы $\sin(\beta) = \sin(\frac{6\pi}{7})$. Воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$.

$\sin(\frac{6\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{6\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{7})$.

Угол $\beta = \frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7}) = \arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{\pi}{7}$

4) $\arcsin(\sin 5)$

Угол $\alpha = 5$ (в радианах) не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как $5 > 1.57 \approx \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти такой угол $\beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, чтобы $\sin(\beta) = \sin(5)$.

Воспользуемся периодичностью функции синус: $\sin(x) = \sin(x - 2\pi)$.

$\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$.

Проверим, принадлежит ли угол $\beta = 5 - 2\pi$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $5 - 2\pi \approx 5 - 6.28318 = -1.28318$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $-1.57 \le -1.28318 \le 1.57$. Условие выполняется.

Следовательно, $\arcsin(\sin 5) = \arcsin(\sin(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi$.

Ответ: $5 - 2\pi$