Номер 607, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 607, страница 183.

Условие.

Вычислить (607—608).

607

1) $\arctg 0$; 2) $\arctg (-1)$; 3) $\arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$; 4) $\arctg \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) arctg 0

По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg}(a)$, — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, $y = \text{arctg}(a)$, если $\text{tg}(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

В данном случае нам нужно найти $\text{arctg}(0)$. Мы ищем такой угол $y$, что $\text{tg}(y) = 0$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$.

Это выражение равно нулю, когда числитель равен нулю, то есть $\sin(y) = 0$.

В интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственным углом, для которого $\sin(y) = 0$, является $y = 0$.

Следовательно, $\text{arctg}(0) = 0$.

Ответ: $0$.

2) arctg (-1)

Нам нужно найти угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg}(y) = -1$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арктангенса: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Таким образом, $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Теперь найдем значение $\text{arctg}(1)$. Это угол, тангенс которого равен 1. Известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение, получаем: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

3) arctg $(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Нам нужно найти угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg}(y) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Снова используем свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Теперь найдем значение $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение, получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

4) arctg $\sqrt{3}$

Нам нужно найти угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg}(y) = \sqrt{3}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций для стандартных углов мы знаем, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, по определению арктангенса мы можем заключить, что $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.