Номер 613, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 613, страница 184.

Условие.

613 Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения $3 \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала найдем общее решение данного тригонометрического уравнения.

Исходное уравнение:

$3 \tg x - \sqrt{3} = 0$

Перенесем член $-\sqrt{3}$ в правую часть уравнения и сменим его знак:

$3 \tg x = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $\tg x$:

$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение уравнения вида $\tg x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, и мы знаем, что $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение нашего уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь, используя эту формулу, найдем требуемые корни.

Наименьший положительный корень

Чтобы найти наименьший положительный корень ($x > 0$), нужно подставлять в общую формулу целочисленные значения $n$, начиная с 0, и выбирать наименьший положительный результат.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.

Это значение является положительным. При следующем значении $n=1$, корень будет $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$, что больше, чем $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, наименьший положительный корень достигается при $n=0$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

Наибольший отрицательный корень

Чтобы найти наибольший отрицательный корень ($x < 0$), нужно подставлять в общую формулу отрицательные целочисленные значения $n$. Наибольшим отрицательным числом будет то, которое находится ближе всего к нулю.

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Это значение является отрицательным. При следующем значении $n=-2$, корень будет $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. Поскольку $-\frac{5\pi}{6} > -\frac{11\pi}{6}$, наибольший отрицательный корень достигается при $n=-1$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$