Номер 615, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 615, страница 184.

Условие.

615 Доказать, что $\operatorname{tg} (\operatorname{arctg} a) = a$ при любом $a$. Вычислить:

1) $\operatorname{tg} (\operatorname{arctg} 2,1)$;

2) $\operatorname{tg} (\operatorname{arctg} (-0,3));

3) $\operatorname{tg} (\pi - \operatorname{arctg} 7);

4) $\operatorname{ctg} (\frac{\pi}{2}+\operatorname{arctg} 6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, $arctg\ a$ (арктангенс числа $a$) — это такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что его тангенс равен $a$.

То есть, если мы обозначим $\alpha = arctg\ a$, то по определению это означает, что $tg(\alpha) = a$.

Теперь, если мы подставим в это равенство вместо $\alpha$ его выражение $arctg\ a$, мы получим искомое тождество:

$tg(arctg\ a) = a$.

Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$, так как область определения функции $arctg\ a$ — это все действительные числа. Что и требовалось доказать.

Теперь вычислим значения выражений.

1) Используя доказанное тождество $tg(arctg\ a) = a$ для $a = 2,1$, получаем:
$tg(arctg\ 2,1) = 2,1$.
Ответ: 2,1.

2) Аналогично, используя тождество $tg(arctg\ a) = a$ для $a = -0,3$, получаем:
$tg(arctg(-0,3)) = -0,3$.
Ответ: -0,3.

3) Для вычисления $tg(\pi - arctg\ 7)$ воспользуемся формулой приведения для тангенса: $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$.
Пусть $\alpha = arctg\ 7$. Тогда:
$tg(\pi - arctg\ 7) = -tg(arctg\ 7)$.
Применяя основное тождество $tg(arctg\ a) = a$, имеем $tg(arctg\ 7) = 7$.
Следовательно, $tg(\pi - arctg\ 7) = -7$.
Ответ: -7.

4) Для вычисления $ctg(\frac{\pi}{2} + arctg\ 6)$ воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.
Пусть $\alpha = arctg\ 6$. Тогда:
$ctg(\frac{\pi}{2} + arctg\ 6) = -tg(arctg\ 6)$.
Применяя основное тождество $tg(arctg\ a) = a$, имеем $tg(arctg\ 6) = 6$.
Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{2} + arctg\ 6) = -6$.
Ответ: -6.