Номер 621, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 621, страница 192.

Условие.

621 1) $2 \cos^2 x - \sin x + 1 = 0;$

2) $3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0;$

3) $4 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0;$

4) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $2 \cos^2 x - \sin x + 1 = 0$.

Чтобы свести уравнение к одной тригонометрической функции, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 2 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0$

$-2 \sin^2 x - \sin x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$2 \sin^2 x + \sin x - 3 = 0$

Введем замену переменной $t = \sin x$. Поскольку значения синуса находятся в промежутке $[-1, 1]$, то и для $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид квадратного:

$2t^2 + t - 3 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к замене и решаем уравнение $\sin x = 1$.

Это частный случай, решением которого является:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0$.

Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$

$3 - 3 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$-3 \sin^2 x - \sin x + 2 = 0$

$3 \sin^2 x + \sin x - 2 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Следовательно, получаем два уравнения:

1. $\sin x = \frac{2}{3}$. Решение: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -1$. Решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $4 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0$.

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к функции косинуса:

$4(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$

$4 - 4 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

$-4 \cos^2 x - \cos x + 3 = 0$

$4 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0$

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 + t - 3 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Получаем два уравнения:

1. $\cos x = \frac{3}{4}$. Решение: $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -1$. Решение: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$.

Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$

$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$

$-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$

$2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию.

Возвращаемся к замене и решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решением является:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.