Номер 627, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 627, страница 192.

Условие.

627 1) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x;$

2) $\sin 7x - \sin x = \cos 4x;$

3) $\cos x + \cos 3x = 4 \cos 2x;$

4) $\sin^2 x - \cos^2 x = \cos 4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2 \sin \frac{3x+5x}{2} \sin \frac{3x-5x}{2} = \sin 4x$

$-2 \sin 4x \sin(-x) = \sin 4x$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$2 \sin 4x \sin x = \sin 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \sin 4x \sin x - \sin 4x = 0$

$\sin 4x (2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi n, \quad n \in Z$
$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z$

2. $2 \sin x - 1 = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in Z$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in Z$.

2) $\sin 7x - \sin x = \cos 4x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2 \sin \frac{7x-x}{2} \cos \frac{7x+x}{2} = \cos 4x$

$2 \sin 3x \cos 4x = \cos 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \sin 3x \cos 4x - \cos 4x = 0$

$\cos 4x (2 \sin 3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos 4x = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z$

2. $2 \sin 3x - 1 = 0$
$\sin 3x = \frac{1}{2}$
$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in Z$.

3) $\cos x + \cos 3x = 4 \cos 2x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 4 \cos 2x$

$2 \cos 2x \cos(-x) = 4 \cos 2x$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$2 \cos 2x \cos x = 4 \cos 2x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \cos 2x \cos x - 4 \cos 2x = 0$

$2 \cos 2x (\cos x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$

2. $\cos x - 2 = 0$
$\cos x = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$.

4) $\sin^2 x - \cos^2 x = \cos 4x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$

Уравнение принимает вид:

$-\cos 2x = \cos 4x$

$\cos 4x + \cos 2x = 0$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 0$

$2 \cos 3x \cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos 3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in Z$

2. $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z$

Заметим, что вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$). Например, при $n=1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi+2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. При $n=4$ получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi+8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. Таким образом, все решения второго случая содержатся в первом.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in Z$.