Номер 624, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 624, страница 192.

Условие.

624 1) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0;$

2) $\cos x = \sin x;$

3) $\sin x = 2 \cos x;$

4) $2 \sin x + \cos x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Это преобразование является равносильным, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из исходного уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Исходное уравнение:

$\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3} + \tan x = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перепишем его и разделим обе части на $\cos x$, так как $\cos x = 0$ не является решением уравнения (в этом случае $\sin x = \pm 1$, и равенство $\pm 1 = 0$ неверно).

Исходное уравнение:

$\cos x = \sin x$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$\frac{\cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$1 = \tan x$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Данное уравнение также является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части на $\cos x$, так как $\cos x = 0$ не является решением (иначе $\sin x = \pm 1$, и равенство $\pm 1 = 2 \cdot 0$ неверно).

Исходное уравнение:

$\sin x = 2 \cos x$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2 \cos x}{\cos x}$

$\tan x = 2$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$, так как $\cos x = 0$ не является решением (иначе $\sin x = \pm 1$, и равенство $2(\pm 1) + 0 = 0$ неверно).

Исходное уравнение:

$2 \sin x + \cos x = 0$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$:

$2 \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$2 \tan x + 1 = 0$

$2 \tan x = -1$

$\tan x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можно записать ответ в виде:

$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.