Номер 626, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 36. Решение тригонометрических уравнений. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 626, страница 192.

626 1) $ \cos x = \cos 3x; $

2) $ \sin 5x = \sin x; $

3) $ \sin 2x = \cos 3x; $

4) $ \sin x + \cos 3x = 0. $

1)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $ \cos x - \cos 3x = 0 $.

Воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применив ее, получаем:

$ -2 \sin\frac{x+3x}{2} \sin\frac{x-3x}{2} = 0 $

$ -2 \sin(2x) \sin(-x) = 0 $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, уравнение принимает вид:

$ 2 \sin(2x) \sin x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin x = 0 $. Решением этого уравнения является $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin(2x) = 0 $. Решением этого уравнения является $ 2x = \pi k $, то есть $ x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что первая серия решений $ x = \pi n $ является подмножеством второй серии $ x = \frac{\pi k}{2} $ (когда $ k $ — четное число, т.е. $ k=2n $). Следовательно, общее решение — это вторая, более общая серия.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $ \sin 5x - \sin x = 0 $.

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применив ее, получаем:

$ 2 \sin\frac{5x-x}{2} \cos\frac{5x+x}{2} = 0 $

$ 2 \sin(2x) \cos(3x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin(2x) = 0 $. Решением является $ 2x = \pi n $, откуда $ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos(3x) = 0 $. Решением является $ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, откуда $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z} $.

3)

Исходное уравнение: $ \sin 2x = \cos 3x $.

Используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы привести уравнение к одному наименованию функции:

$ \sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x) $

Это уравнение вида $ \sin a = \sin b $, общее решение которого записывается в виде совокупности двух серий:

$ a = b + 2\pi n $ или $ a = \pi - b + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим оба случая:

1. $ 2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n $

$ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} $

2. $ 2x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k $

$ 2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $

$ -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k $. Так как $ k $ - любое целое, можно заменить $ -k $ на $ m \in \mathbb{Z} $, тогда $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z} $.

4)

Исходное уравнение: $ \sin x + \cos 3x = 0 $.

Перенесем синус в правую часть: $ \cos 3x = -\sin x $.

Используем формулу приведения $ -\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} + x) $. Уравнение принимает вид:

$ \cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} + x) $

Это уравнение вида $ \cos a = \cos b $, общее решение которого $ a = \pm b + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим оба случая:

1. $ 3x = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi n $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $

2. $ 3x = -(\frac{\pi}{2} + x) + 2\pi k $

$ 3x = -\frac{\pi}{2} - x + 2\pi k $

$ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z} $.