Номер 623, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 623, страница 192.

Условие.

623 1) $1 + 7 \cos^2 x = 3 \sin 2x;$

2) $3 + \sin 2x = 4 \sin^2 x;$

3) $\cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0;$

4) $3 \cos 2x + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 + 7 \cos^2 x = 3 \sin 2x$

Для решения данного уравнения используем тригонометрические тождества: основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 7 \cos^2 x = 3(2 \sin x \cos x)$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 x + 8 \cos^2 x = 6 \sin x \cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 8 \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{8 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 6 \tan x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Вернемся к замене:

$\tan x = 2$ или $\tan x = 4$.

Отсюда находим $x$:

$x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \arctan 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3 + \sin 2x = 4 \sin^2 x$

Используем тождества $3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$3(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x$

$3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 4 \sin^2 x = 0$

$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $0 + 0 - 1 = 0$, что неверно. Значит, можно разделить на $\cos^2 x$.

$3 + 2 \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 + 2 \tan x - \tan^2 x = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

$\tan x = 3$ или $\tan x = -1$.

Отсюда находим $x$:

$x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$(\cos^2 x - \sin^2 x) + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$

$2 \cos^2 x + \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Проверка показывает, что $\cos x \neq 0$. Разделим на $\cos^2 x$.

$2 + \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 + \tan x - \tan^2 x = 0$

$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

$\tan x = 2$ или $\tan x = -1$.

Отсюда находим $x$:

$x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $3 \cos 2x + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0$

Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0$

$3 \cos^2 x - 3 \sin^2 x + \sin^2 x + 5 \sin x \cos x = 0$

$3 \cos^2 x + 5 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Проверка показывает, что $\cos x \neq 0$. Разделим на $\cos^2 x$.

$3 + 5 \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 + 5 \tan x - 2 \tan^2 x = 0$

$2 \tan^2 x - 5 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Вернемся к замене:

$\tan x = -\frac{1}{2}$ или $\tan x = 3$.

Отсюда находим $x$:

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \arctan 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.