Номер 625, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 36. Решение тригонометрических уравнений. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 625, страница 192.

625 1) $\sin x - \cos x = 1;$

2) $\sin x + \cos x = 1;$

3) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2;$

4) $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}.$

1) $\sin x - \cos x = 1$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2}$.

В данном случае $a=1$, $b=-1$. Находим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Делим уравнение на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos\frac{\pi}{4} \sin x - \sin\frac{\pi}{4} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $\sin(x - \alpha) = \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$.

Получаем уравнение:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n$ — четное, $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

2. Если $n$ — нечетное, $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = 1$

Аналогично предыдущему пункту, это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Здесь $a=1$, $b=1$.

Находим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Делим уравнение на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используем значения $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4} \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Левая часть является формулой синуса суммы: $\sin(x + \alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.

Получаем уравнение:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n$ — четное, $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$

2. Если $n$ — нечетное, $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$ с $a=\sqrt{3}$ и $b=1$.

Находим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Делим уравнение на $2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{2}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения:

$\cos\frac{\pi}{6} \sin x + \sin\frac{\pi}{6} \cos x = 1$

Применяем формулу синуса суммы:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

Это уравнение вида $a \sin(kx) + b \cos(kx) = c$. Здесь $a=1, b=1, k=3$.

Находим $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Делим уравнение на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x = 1$

Используем $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$:

$\cos\frac{\pi}{4} \sin 3x + \sin\frac{\pi}{4} \cos 3x = 1$

Применяем формулу синуса суммы:

$\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай. Решение имеет вид:

$3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.